src/Sequents/LK/Quantifiers.thy
author wenzelm
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(*  Title:      Sequents/LK/Quantifiers.thy
wenzelm@21426
     2
    Author:     Lawrence C Paulson, Cambridge University Computer Laboratory
wenzelm@21426
     3
    Copyright   1992  University of Cambridge
wenzelm@21426
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wenzelm@21426
     5
Classical sequent calculus: examples with quantifiers.
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*)
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theory Quantifiers
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imports "../LK"
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begin
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. P) \<longleftrightarrow> P"
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  by fast
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x y. P(x,y)) \<longleftrightarrow> (\<forall>y x. P(x,y))"
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  by fast
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lemma "\<forall>u. P(u), \<forall>v. Q(v) \<turnstile> \<forall>u v. P(u) \<and> Q(v)"
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  by fast
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text "Permutation of existential quantifier."
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lemma "\<turnstile> (\<exists>x y. P(x,y)) \<longleftrightarrow> (\<exists>y x. P(x,y))"
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  by fast
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. P(x) \<and> Q(x)) \<longleftrightarrow> (\<forall>x. P(x)) \<and> (\<forall>x. Q(x))"
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  by fast
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(*Converse is invalid*)
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. P(x)) \<or> (\<forall>x. Q(x)) \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<or> Q(x))"
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    32
  by fast
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    33
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    34
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text "Pushing \<forall>into an implication."
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. P \<longrightarrow> Q(x)) \<longleftrightarrow> (P \<longrightarrow> (\<forall>x. Q(x)))"
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  by fast
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> ((\<exists>x. P(x)) \<longrightarrow> Q)"
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  by fast
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lemma "\<turnstile> (\<exists>x. P)  \<longleftrightarrow>  P"
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  by fast
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    47
text "Distribution of \<exists>over disjunction."
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lemma "\<turnstile> (\<exists>x. P(x) \<or> Q(x)) \<longleftrightarrow> (\<exists>x. P(x)) \<or> (\<exists>x. Q(x))"
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  by fast
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(*Converse is invalid*)
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lemma "\<turnstile> (\<exists>x. P(x) \<and> Q(x)) \<longrightarrow> (\<exists>x. P(x)) \<and> (\<exists>x. Q(x))"
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  by fast
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text "Harder examples: classical theorems."
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lemma "\<turnstile> (\<exists>x. P \<longrightarrow> Q(x)) \<longleftrightarrow> (P \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x)))"
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  by fast
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    61
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lemma "\<turnstile> (\<exists>x. P(x) \<longrightarrow> Q) \<longleftrightarrow> (\<forall>x. P(x)) \<longrightarrow> Q"
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  by fast
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. P(x)) \<or> Q \<longleftrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<or> Q)"
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  by fast
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text "Basic test of quantifier reasoning"
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lemma "\<turnstile> (\<exists>y. \<forall>x. Q(x,y)) \<longrightarrow> (\<forall>x. \<exists>y. Q(x,y))"
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    72
  by fast
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    73
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    74
lemma "\<turnstile> (\<forall>x. Q(x)) \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x))"
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  by fast
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    78
text "The following are invalid!"
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(*INVALID*)
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. \<exists>y. Q(x,y)) \<longrightarrow> (\<exists>y. \<forall>x. Q(x,y))"
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    82
  apply fast?
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    83
  apply (rule _)
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  oops
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    85
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    86
(*INVALID*)
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    87
lemma "\<turnstile> (\<exists>x. Q(x)) \<longrightarrow> (\<forall>x. Q(x))"
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    88
  apply fast?
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    89
  apply (rule _)
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    90
  oops
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    92
(*INVALID*)
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schematic_goal "\<turnstile> P(?a) \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x))"
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  apply fast?
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    95
  apply (rule _)
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  oops
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(*INVALID*)
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    99
schematic_goal "\<turnstile> (P(?a) \<longrightarrow> (\<forall>x. Q(x))) \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> Q(x))"
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   100
  apply fast?
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  apply (rule _)
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  oops
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   104
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   105
text "Back to things that are provable..."
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> Q(x)) \<and> (\<exists>x. P(x)) \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x))"
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  by fast
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(*An example of why exR should be delayed as long as possible*)
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lemma "\<turnstile> (P \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x))) \<and> P \<longrightarrow> (\<exists>x. Q(x))"
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  by fast
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   115
text "Solving for a Var"
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schematic_goal "\<turnstile> (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> Q(f(x))) \<and> (\<forall>x. Q(x) \<longrightarrow> R(g(x))) \<and> P(d) \<longrightarrow> R(?a)"
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  by fast
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text "Principia Mathematica *11.53"
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lemma "\<turnstile> (\<forall>x y. P(x) \<longrightarrow> Q(y)) \<longleftrightarrow> ((\<exists>x. P(x)) \<longrightarrow> (\<forall>y. Q(y)))"
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  by fast
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text "Principia Mathematica *11.55"
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lemma "\<turnstile> (\<exists>x y. P(x) \<and> Q(x,y)) \<longleftrightarrow> (\<exists>x. P(x) \<and> (\<exists>y. Q(x,y)))"
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  by fast
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text "Principia Mathematica *11.61"
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lemma "\<turnstile> (\<exists>y. \<forall>x. P(x) \<longrightarrow> Q(x,y)) \<longrightarrow> (\<forall>x. P(x) \<longrightarrow> (\<exists>y. Q(x,y)))"
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  by fast
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