(* Title: HOL/Tools/rewrite_hol_proof.ML
Author: Stefan Berghofer, TU Muenchen
Rewrite rules for HOL proofs
*)
signature REWRITE_HOL_PROOF =
sig
val rews: (Proofterm.proof * Proofterm.proof) list
val elim_cong: typ list -> Proofterm.proof -> (Proofterm.proof * Proofterm.proof) option
end;
structure RewriteHOLProof : REWRITE_HOL_PROOF =
struct
open Proofterm;
val rews = map (pairself (Proof_Syntax.proof_of_term @{theory} true) o
Logic.dest_equals o Logic.varify o Proof_Syntax.read_term @{theory} propT)
(** eliminate meta-equality rules **)
["(equal_elim % x1 % x2 %% \
\ (combination % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Trueprop % x3 % A % B %% \
\ (axm.reflexive % TYPE('T3) % x4) %% prf1)) == \
\ (iffD1 % A % B %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE(bool) % A % B %% prf1))",
"(equal_elim % x1 % x2 %% (axm.symmetric % TYPE('T1) % x3 % x4 %% \
\ (combination % TYPE('T2) % TYPE('T3) % Trueprop % x5 % A % B %% \
\ (axm.reflexive % TYPE('T4) % x6) %% prf1))) == \
\ (iffD2 % A % B %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE(bool) % A % B %% prf1))",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('U) % x1 % x2 %% \
\ (combination % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g % x % y %% prf1 %% prf2)) == \
\ (cong % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g % x % y %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T => 'U) % f % g %% prf1) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% prf2))",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x1 % x2 %% \
\ (axm.transitive % TYPE('T) % x % y % z %% prf1 %% prf2)) == \
\ (HOL.trans % TYPE('T) % x % y % z %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% prf1) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % y % z %% prf2))",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % x %% (axm.reflexive % TYPE('T) % x)) == \
\ (HOL.refl % TYPE('T) % x)",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% \
\ (axm.symmetric % TYPE('T) % x % y %% prf)) == \
\ (sym % TYPE('T) % x % y %% (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% prf))",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T => 'U) % x1 % x2 %% \
\ (abstract_rule % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g %% prf)) == \
\ (ext % TYPE('U) % TYPE('T) % f % g %% \
\ (Lam (x::'T). meta_eq_to_obj_eq % TYPE('U) % f x % g x %% (prf % x)))",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % x % y %% \
\ (eq_reflection % TYPE('T) % x % y %% prf)) == prf",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T1) % x1 % x2 %% (equal_elim % x3 % x4 %% \
\ (combination % TYPE(prop) % TYPE('T) % x7 % x8 % C % D %% \
\ (combination % TYPE('T3) % TYPE('T) % op == % op == % A % B %% \
\ (axm.reflexive % TYPE('T4) % op ==) %% prf1) %% prf2) %% prf3)) == \
\ (iffD1 % A = C % B = D %% \
\ (cong % TYPE(bool) % TYPE('T::type) % op = A % op = B % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T=>bool) % TYPE('T) % \
\ (op = :: 'T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool) % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool)) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % A % B %% prf1)) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % C % D %% prf2)) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % A % C %% prf3))",
"(meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T1) % x1 % x2 %% (equal_elim % x3 % x4 %% \
\ (axm.symmetric % TYPE('T2) % x5 % x6 %% \
\ (combination % TYPE(prop) % TYPE('T) % x7 % x8 % C % D %% \
\ (combination % TYPE('T3) % TYPE('T) % op == % op == % A % B %% \
\ (axm.reflexive % TYPE('T4) % op ==) %% prf1) %% prf2)) %% prf3)) == \
\ (iffD2 % A = C % B = D %% \
\ (cong % TYPE(bool) % TYPE('T::type) % op = A % op = B % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T=>bool) % TYPE('T) % \
\ (op = :: 'T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool) % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T=>'T=>bool) % (op = :: 'T=>'T=>bool)) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % A % B %% prf1)) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % C % D %% prf2)) %% \
\ (meta_eq_to_obj_eq % TYPE('T) % B % D %% prf3))",
(** rewriting on bool: insert proper congruence rules for logical connectives **)
(* All *)
"(iffD1 % All P % All Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % All % All % P % Q %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \
\ (allI % TYPE('a) % Q %% \
\ (Lam x. \
\ iffD1 % P x % Q x %% (prf % x) %% \
\ (spec % TYPE('a) % P % x %% prf')))",
"(iffD2 % All P % All Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % All % All % P % Q %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \
\ (allI % TYPE('a) % P %% \
\ (Lam x. \
\ iffD2 % P x % Q x %% (prf % x) %% \
\ (spec % TYPE('a) % Q % x %% prf')))",
(* Ex *)
"(iffD1 % Ex P % Ex Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Ex % Ex % P % Q %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \
\ (exE % TYPE('a) % P % EX x. Q x %% prf' %% \
\ (Lam x H : P x. \
\ exI % TYPE('a) % Q % x %% \
\ (iffD1 % P x % Q x %% (prf % x) %% H)))",
"(iffD2 % Ex P % Ex Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Ex % Ex % P % Q %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % x1) %% (ext % TYPE(bool) % TYPE('a) % x2 % x3 %% prf)) %% prf') == \
\ (exE % TYPE('a) % Q % EX x. P x %% prf' %% \
\ (Lam x H : Q x. \
\ exI % TYPE('a) % P % x %% \
\ (iffD2 % P x % Q x %% (prf % x) %% H)))",
(* & *)
"(iffD1 % A & C % B & D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op & % op & % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T5) % op &) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \
\ (conjI % B % D %% \
\ (iffD1 % A % B %% prf1 %% (conjunct1 % A % C %% prf3)) %% \
\ (iffD1 % C % D %% prf2 %% (conjunct2 % A % C %% prf3)))",
"(iffD2 % A & C % B & D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op & % op & % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T5) % op &) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \
\ (conjI % A % C %% \
\ (iffD2 % A % B %% prf1 %% (conjunct1 % B % D %% prf3)) %% \
\ (iffD2 % C % D %% prf2 %% (conjunct2 % B % D %% prf3)))",
"(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op & A % op & A % B % C %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op & A)) == \
\ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op & A % op & A % B % C %% \
\ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \
\ (op & :: bool=>bool=>bool) % (op & :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op & :: bool=>bool=>bool)) %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))",
(* | *)
"(iffD1 % A | C % B | D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op | % op | % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T5) % op | ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \
\ (disjE % A % C % B | D %% prf3 %% \
\ (Lam H : A. disjI1 % B % D %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% H)) %% \
\ (Lam H : C. disjI2 % D % B %% (iffD1 % C % D %% prf2 %% H)))",
"(iffD2 % A | C % B | D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op | % op | % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T5) % op | ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \
\ (disjE % B % D % A | C %% prf3 %% \
\ (Lam H : B. disjI1 % A % C %% (iffD2 % A % B %% prf1 %% H)) %% \
\ (Lam H : D. disjI2 % C % A %% (iffD2 % C % D %% prf2 %% H)))",
"(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op | A % op | A % B % C %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op | A)) == \
\ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op | A % op | A % B % C %% \
\ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \
\ (op | :: bool=>bool=>bool) % (op | :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op | :: bool=>bool=>bool)) %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))",
(* --> *)
"(iffD1 % A --> C % B --> D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op --> % op --> % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T5) % op --> ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \
\ (impI % B % D %% (Lam H: B. iffD1 % C % D %% prf2 %% \
\ (mp % A % C %% prf3 %% (iffD2 % A % B %% prf1 %% H))))",
"(iffD2 % A --> C % B --> D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T3) % TYPE('T4) % op --> % op --> % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T5) % op --> ) %% prf1) %% prf2) %% prf3) == \
\ (impI % A % C %% (Lam H: A. iffD2 % C % D %% prf2 %% \
\ (mp % B % D %% prf3 %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% H))))",
"(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op --> A % op --> A % B % C %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op --> A)) == \
\ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op --> A % op --> A % B % C %% \
\ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \
\ (op --> :: bool=>bool=>bool) % (op --> :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op --> :: bool=>bool=>bool)) %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))",
(* ~ *)
"(iffD1 % ~ P % ~ Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Not % Not % P % Q %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % Not) %% prf1) %% prf2) == \
\ (notI % Q %% (Lam H: Q. \
\ notE % P % False %% prf2 %% (iffD2 % P % Q %% prf1 %% H)))",
"(iffD2 % ~ P % ~ Q %% (cong % TYPE('T1) % TYPE('T2) % Not % Not % P % Q %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % Not) %% prf1) %% prf2) == \
\ (notI % P %% (Lam H: P. \
\ notE % Q % False %% prf2 %% (iffD1 % P % Q %% prf1 %% H)))",
(* = *)
"(iffD1 % B % D %% \
\ (iffD1 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4) == \
\ (iffD1 % C % D %% prf2 %% \
\ (iffD1 % A % C %% prf3 %% (iffD2 % A % B %% prf1 %% prf4)))",
"(iffD2 % B % D %% \
\ (iffD1 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4) == \
\ (iffD1 % A % B %% prf1 %% \
\ (iffD2 % A % C %% prf3 %% (iffD2 % C % D %% prf2 %% prf4)))",
"(iffD1 % A % C %% \
\ (iffD2 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4)== \
\ (iffD2 % C % D %% prf2 %% \
\ (iffD1 % B % D %% prf3 %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% prf4)))",
"(iffD2 % A % C %% \
\ (iffD2 % A = C % B = D %% (cong % TYPE('T1) % TYPE(bool) % x1 % x2 % C % D %% \
\ (cong % TYPE('T2) % TYPE(bool) % op = % op = % A % B %% \
\ (HOL.refl % TYPE('T3) % op =) %% prf1) %% prf2) %% prf3) %% prf4) == \
\ (iffD2 % A % B %% prf1 %% \
\ (iffD2 % B % D %% prf3 %% (iffD1 % C % D %% prf2 %% prf4)))",
"(cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op = A % op = A % B % C %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool) % op = A)) == \
\ (cong % TYPE(bool) % TYPE(bool) % op = A % op = A % B % C %% \
\ (cong % TYPE(bool=>bool) % TYPE(bool) % \
\ (op = :: bool=>bool=>bool) % (op = :: bool=>bool=>bool) % A % A %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool=>bool=>bool) % (op = :: bool=>bool=>bool)) %% \
\ (HOL.refl % TYPE(bool) % A)))",
(** transitivity, reflexivity, and symmetry **)
"(iffD1 % A % C %% (HOL.trans % TYPE(bool) % A % B % C %% prf1 %% prf2) %% prf3) == \
\ (iffD1 % B % C %% prf2 %% (iffD1 % A % B %% prf1 %% prf3))",
"(iffD2 % A % C %% (HOL.trans % TYPE(bool) % A % B % C %% prf1 %% prf2) %% prf3) == \
\ (iffD2 % A % B %% prf1 %% (iffD2 % B % C %% prf2 %% prf3))",
"(iffD1 % A % A %% (HOL.refl % TYPE(bool) % A) %% prf) == prf",
"(iffD2 % A % A %% (HOL.refl % TYPE(bool) % A) %% prf) == prf",
"(iffD1 % A % B %% (sym % TYPE(bool) % B % A %% prf)) == (iffD2 % B % A %% prf)",
"(iffD2 % A % B %% (sym % TYPE(bool) % B % A %% prf)) == (iffD1 % B % A %% prf)",
(** normalization of HOL proofs **)
"(mp % A % B %% (impI % A % B %% prf)) == prf",
"(impI % A % B %% (mp % A % B %% prf)) == prf",
"(spec % TYPE('a) % P % x %% (allI % TYPE('a) % P %% prf)) == prf % x",
"(allI % TYPE('a) % P %% (Lam x::'a. spec % TYPE('a) % P % x %% prf)) == prf",
"(exE % TYPE('a) % P % Q %% (exI % TYPE('a) % P % x %% prf1) %% prf2) == (prf2 % x %% prf1)",
"(exE % TYPE('a) % P % Q %% prf %% (exI % TYPE('a) % P)) == prf",
"(disjE % P % Q % R %% (disjI1 % P % Q %% prf1) %% prf2 %% prf3) == (prf2 %% prf1)",
"(disjE % P % Q % R %% (disjI2 % Q % P %% prf1) %% prf2 %% prf3) == (prf3 %% prf1)",
"(conjunct1 % P % Q %% (conjI % P % Q %% prf1 %% prf2)) == prf1",
"(conjunct2 % P % Q %% (conjI % P % Q %% prf1 %% prf2)) == prf2",
"(iffD1 % A % B %% (iffI % A % B %% prf1 %% prf2)) == prf1",
"(iffD2 % A % B %% (iffI % A % B %% prf1 %% prf2)) == prf2"];
(** Replace congruence rules by substitution rules **)
fun strip_cong ps (PThm (_, (("HOL.cong", _, _), _)) % _ % _ % SOME x % SOME y %%
prf1 %% prf2) = strip_cong (((x, y), prf2) :: ps) prf1
| strip_cong ps (PThm (_, (("HOL.refl", _, _), _)) % SOME f) = SOME (f, ps)
| strip_cong _ _ = NONE;
val subst_prf = fst (strip_combt (Thm.proof_of subst));
val sym_prf = fst (strip_combt (Thm.proof_of sym));
fun make_subst Ts prf xs (_, []) = prf
| make_subst Ts prf xs (f, ((x, y), prf') :: ps) =
let val T = fastype_of1 (Ts, x)
in if x aconv y then make_subst Ts prf (xs @ [x]) (f, ps)
else change_type (SOME [T]) subst_prf %> x %> y %>
Abs ("z", T, list_comb (incr_boundvars 1 f,
map (incr_boundvars 1) xs @ Bound 0 ::
map (incr_boundvars 1 o snd o fst) ps)) %% prf' %%
make_subst Ts prf (xs @ [x]) (f, ps)
end;
fun make_sym Ts ((x, y), prf) =
((y, x), change_type (SOME [fastype_of1 (Ts, x)]) sym_prf %> x %> y %% prf);
fun mk_AbsP P t = AbsP ("H", Option.map HOLogic.mk_Trueprop P, t);
fun elim_cong_aux Ts (PThm (_, (("HOL.iffD1", _, _), _)) % _ % _ %% prf1 %% prf2) =
Option.map (make_subst Ts prf2 []) (strip_cong [] prf1)
| elim_cong_aux Ts (PThm (_, (("HOL.iffD1", _, _), _)) % P % _ %% prf) =
Option.map (mk_AbsP P o make_subst Ts (PBound 0) [])
(strip_cong [] (incr_pboundvars 1 0 prf))
| elim_cong_aux Ts (PThm (_, (("HOL.iffD2", _, _), _)) % _ % _ %% prf1 %% prf2) =
Option.map (make_subst Ts prf2 [] o
apsnd (map (make_sym Ts))) (strip_cong [] prf1)
| elim_cong_aux Ts (PThm (_, (("HOL.iffD2", _, _), _)) % _ % P %% prf) =
Option.map (mk_AbsP P o make_subst Ts (PBound 0) [] o
apsnd (map (make_sym Ts))) (strip_cong [] (incr_pboundvars 1 0 prf))
| elim_cong_aux _ _ = NONE;
fun elim_cong Ts prf = Option.map (rpair no_skel) (elim_cong_aux Ts prf);
end;